三角形——全等模型

答题习惯

一定要标注，用不同颜色的笔分组标记等角等边

主要模型类型

• 手拉手模型

• 三垂直模型（一线三等角）

• 中线倍长模型

• 全等辅助线之截长补短

• 半角模型（用截长补短做辅助线）

• 等补四边形模型

手拉手模型

模型讲解

1. 两个等腰三角形，共顶点，顶角相等。

   如图一，$AB=AC,AD=AE,\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }DAE$

2. 识别左右手连线，顶点与左右手连线构成的2个三角形全等。

   如图二，顶点A与左手连线BD构成$\mathrm{\Delta }ABD$，顶点A与右手连线构成$\mathrm{\Delta }ACE$，$\mathrm{\Delta }ABD\cong \mathrm{\Delta }ACE(SAS)$

3. 左右手连线相交产生2组对顶角（如果未相交，可以做延长让它们相交），其中有一组对顶角与等腰三角形顶角相等。

   如图三，$\mathrm{\angle }DOE=\mathrm{\angle }BAC$

   证明思路：根据$\mathrm{\Delta }ABD\cong \mathrm{\Delta }ACE$，$\mathrm{\angle }ABD=\mathrm{\angle }ACE$，8字型 $COBA$ 得出$\mathrm{\angle }DOE=\mathrm{\angle }BAC$

   部分顶角为直角的可以直接计算角度来证明

4. 识别左右手连线的交点，交点与顶点的连线是角平分线

   如图四，$OA$平分$\mathrm{\angle }DOG$，证明思路：过点$A$分别向$DO,OG\mathrm{作}\mathrm{垂}\mathrm{线}\mathrm{段}$。两个垂线段分别是$\mathrm{\Delta }ABD,\mathrm{\Delta }ACE$的高，因为两三角形全等，所以面积与底都相等，所以高也相等，得出两垂线段相等，得出OA平分$\mathrm{\angle }DOG$

典型例题：两等边三角形手拉手

如图，$\mathrm{\Delta }ABC$与$\mathrm{\Delta }CDE$ 为等边三角形，B、C、E三点共线

八大结论（证明并记住所有结论）

1. $\mathrm{\Delta }ACE\cong \mathrm{\Delta }BCD,AE=BD$
2. $\mathrm{\angle }AOB=\mathrm{\angle }DOE={60}^{\circ }$
3. $OC$ 平分$\mathrm{\angle }BOE$
4. $\mathrm{\Delta }ACN\cong \mathrm{\Delta }BCM$
5. $\mathrm{\Delta }CEN\cong \mathrm{\Delta }CDM$
6. $\mathrm{\Delta }CMN$是等边三角形
7. $MN//BE$
8. $OB=OA+OC,OE=OD+OC$

总结

• 模型识别技巧：首先找到公共顶点，简称头。然后依次找大图的左手，小图的左手，确认2个左手的连线。再找大图的右手，小图的右手，确认右手的连线。两个连线分别与顶点构成一组全等三角形（简记头左左$\cong$ 头右右）（SAS）

• 左手连线与右手连线形成的夹角，叫做拉手夹角，拉手夹角＝顶角（“8”字形证明）

• 手拉手模型衍生出来的性质（边相等，角相等），可以与其他模型结合使用

三垂直模型（一线三等角）

模型构造：

1. 一个等腰直角三角形
2. 一条穿过等腰直角三角形顶点的直线（2种画法）
3. 过两个底角顶点分别向直线做垂线段

​

模型结论：

1. 全等：垂线段与顶点构成的2个三角形全等（AAS）

倍长中线

全等辅助线之截长补短

例题一

如图，在$\mathrm{\Delta }ABC$中，$\mathrm{\angle }B=2\mathrm{\angle }C$，$\mathrm{\angle }BAC$ 的平分线 $AD$交 $BC$于点 $D$。求证：$AB+BD=AC$

解析：对于这种求线段数量关系的题目，截长补短是常见的辅助线做法，在本题中，我们是求证AB、BD、AC三条线段之间的关系，首先确定AB、BD为短边，AC为长边。我们可以采取延长短边 或 截取长边两种辅助线做法。

补短法一，延长AB至点E，使BE=BD，连DE

先证明 $\mathrm{\angle }3=\mathrm{\angle }C$，得到$\mathrm{\Delta }ADE\cong \mathrm{\Delta }ADC$（AAS），得出$AB+BE=AE$，所以$AB+BD=AC$

补短法二，延长DB至点E，使BE=AE，连DE

先证明 $\mathrm{\angle }3=\mathrm{\angle }4=\mathrm{\angle }C$，得出$AE=AC$，再通过$\mathrm{\angle }C+\mathrm{\angle }2=\mathrm{\angle }ADE$，$\mathrm{\angle }3+\mathrm{\angle }1=\mathrm{\angle }DAE$，得出$\mathrm{\angle }ADE=\mathrm{\angle }DAE$，所以$AE=DE=AC$，又因为$BE+BD=DE$，所以$AB+BD=AC$

截长法一，在 $AC$上截取一点$E$，使$AE=AB$，连$DE$

先证明$\mathrm{\Delta }ABD\cong \mathrm{\Delta }AED$（SAS），得出$BD=DE$，再证明$\mathrm{\angle }3=\mathrm{\angle }C$得出$CE=DE$，又因为$AE+CE=AC$，所以$AB+BD=AC$

总结

从以上步骤可以看出，我们采取不同的截长补短策略，会直接影响到后续的解题思路和解题难度，在实际做题时，应通过分析寻找经可能简单的截长补短做法。

同时，也并不是所有的截长补短辅助线都能证明到题目需要的结论，部分题型是只有唯一的解法的。

半角模型

角平分线性质

• 构造全等，转移线段