三角形性质

三角形三边关系

三角形三边关系

对于任意三角形，假设三边分别为 $a、b、c$，存在三边关系：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边

即： $a+b>c、|a-b|<c$

写成连续不等式： $|a-b|<c<a+b$

常见例题

已知在△ABC中，AB=AC，周长为12，求边AB的取值范围

解：设 $AB=AC=x$，则 $BC=12-2x$

​ 由三边关系可得 $|x-x|<12-2x<x+x$

​ 解得 $3<x<6$

运用三边关系时，我们要将哪条边做第三边呢？

答案是哪一条都可以

从本题解题过程里由三边关系得出的不等式，可以发现我们将 $(12-2x)$ 当做了第三边，其实我们也可以将 $x$ 作为第三边，得出 $12-2x+x>x$、 $|12-2x-x|<x$，同样可以解得 $3<x<6$

上面的过程需要解绝对值方程，还是有一定难度的。那有没有不涉及绝对值方程的解题方法呢？

答案是有的！

在满足特定条件时，我们我们可以运用以下方法判定三边关系

三角形三边关系的扩展

• 在等腰三角形中，满足两腰之和大于底，即可构成三角形
• 在能确定最长边时，满足两短边之和大于长边，即可构成三角形

注意：用以上扩展解题时，需要验证边长的非负性

在上述例题中，因为△ABC是等腰三角形，所以满足两腰之和大于底，我们可以列式 $x+x>12-2x$ ，同时因为BC的长度为非负数， $12-2x>0$ ，解得 $3<x<6$

参考资料

三角形三边关系的深度思考

利用三角形三边关系求取值范围